高等工程数学知识点回顾

第一部分：矩阵分析

• 线性空间与线性变换
• 方阵的相似化简
• 方阵函数与最小多项式

线性空间

• 线性空间的判定
• 线性组合、线性相关、线性无关的性质
• 基与坐标： $\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}$
  • 过渡矩阵与坐标变换：$\boldsymbol{B}_{\beta}=\boldsymbol{B}_{\alpha}\boldsymbol{P}$
  • 基变换矩阵：$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Py}$
• 子空间
  • 零空间（核）：$\mathscr{N}(\boldsymbol{A})$
    • $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的解空间
  • 列空间（值域）：$\mathscr{R}(\boldsymbol{A})$
    • $\boldsymbol{A}$ 的列向量的极大无关组张成的线性空间
  • 直和的判定

Schmidt 正交化

• $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{cccc}\left|\boldsymbol{\beta}_{1}\right| & \langle\boldsymbol{\alpha}_{2}, {\boldsymbol{\varepsilon}_{1}\rangle} & \langle\boldsymbol{\alpha}_{3}, {\boldsymbol{\varepsilon}_{1}\rangle} & \cdots & \langle\boldsymbol{\alpha}_{n}, \boldsymbol{\varepsilon}_{1}\rangle \\ &{\left|\boldsymbol{\beta}_{2}\right|} & \langle\boldsymbol{\alpha}_{3}, {\boldsymbol{\varepsilon}_{2}\rangle} & {\cdots} & {\langle\boldsymbol{\alpha}_{n}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}\rangle} \\ && |\boldsymbol{\beta}_3|& \cdots & \langle\boldsymbol{\alpha}_{n}, {\boldsymbol{\varepsilon}_{3}\rangle}\\ &{} & {} & {\ddots}& \vdots\\ &{} & {} & & {\left|\boldsymbol{\beta}_{n}\right|}\end{array}\right]$
  • $\displaystyle\boldsymbol{\beta}_{m}=\boldsymbol{\alpha}_{m}-\sum_{i=1}^{m-1}\langle\boldsymbol{\alpha}_{m}, \boldsymbol{\varepsilon}_{i}\rangle\boldsymbol{\varepsilon}_{i}$
  • $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}=\left\{\boldsymbol{\varepsilon}_{1}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\varepsilon}_{n}\right\} \boldsymbol{P}$