高等工程数学知识点回顾

第一部分：矩阵分析

• 线性空间与线性变换
• 方阵的相似化简
• 方阵函数与最小多项式

线性空间

• 线性空间的判定
• 线性组合、线性相关、线性无关的性质
• 基与坐标： $\mathit{\alpha }=\mathit{B}\mathit{x}$
  • 过渡矩阵与坐标变换：${\mathit{B}}_{\beta }={\mathit{B}}_{\alpha }\mathit{P}$
  • 基变换矩阵：$\mathit{x}=\mathit{P}\mathit{y}$
• 子空间
  • 零空间（核）：$\mathcal{N}(\mathit{A})$
    • $\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$ 的解空间
  • 列空间（值域）：$\mathcal{R}(\mathit{A})$
    • $\mathit{A}$ 的列向量的极大无关组张成的线性空间
  • 直和的判定

Schmidt 正交化

• $\mathit{P}=\left[\begin{array}{ccccc}\left|{\mathit{\beta }}_1\right|& ⟨{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\epsilon }}_1⟩& ⟨{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\epsilon }}_1⟩& \cdots & ⟨{\mathit{\alpha }}_n,{\mathit{\epsilon }}_1⟩\\ & \left|{\mathit{\beta }}_2\right|& ⟨{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\epsilon }}_2⟩& \cdots & ⟨{\mathit{\alpha }}_n,{\mathit{\epsilon }}_2⟩\\ & & |{\mathit{\beta }}_3|& \cdots & ⟨{\mathit{\alpha }}_n,{\mathit{\epsilon }}_3⟩\\ & & & \ddots & ⋮\\ & & & & \left|{\mathit{\beta }}_n\right|\end{array}\right]$
  • ${\displaystyle {\mathit{\beta }}_m={\mathit{\alpha }}_m-\sum _{i=1}^{m-1}⟨{\mathit{\alpha }}_m,{\mathit{\epsilon }}_i⟩{\mathit{\epsilon }}_i}$
  • $\{{\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\dots ,{\mathit{\alpha }}_n\}=\{{\mathit{\epsilon }}_1,{\mathit{\epsilon }}_2,\dots ,{\mathit{\epsilon }}_n\}\mathit{P}$

${\displaystyle \left|\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\right|\le \sum _{j=1}^n\left|a_{ij}{x}_j\right|=\sum _{j=1}^n\left|a_{ij}\right||x_j|\le \sum _{j=1}^n\left|a_{ij}\right|}$